Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 16 \\ 2 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 7 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 16 \\ 2 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 3 x - 2 y + 16 z \\ 2 x + 0 y - 8 z \\ 0 x + 0 y + 1 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 7 \end{array}]$

Étape 1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

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Étape 1.3.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 x - 2 y + 16 z \\ 2 x - 8 z \\ 0 + z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 7 \end{array}]$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $z$ .

$[\begin{array}{c} 3 x - 2 y + 16 z \\ 2 x - 8 z \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 7 \end{array}]$

Étape 2

Write as a linear system of equations.

$3 x - 2 y + 16 z = 0$

$2 x - 8 z = 6$

$z = 7$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.1

Remplacez toutes les occurrences de $z$ par $7$ dans chaque équation.

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Étape 3.1.1

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $3 x - 2 y + 16 z = 0$ par $7$ .

$3 x - 2 y + 16 (7) = 0$

$z = 7$

$2 x - 8 z = 6$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $16$ par $7$ .

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$2 x - 8 z = 6$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$2 x - 8 z = 6$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $2 x - 8 z = 6$ par $7$ .

$2 x - 8 \cdot 7 = 6$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

Étape 3.1.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $- 8$ par $7$ .

$2 x - 56 = 6$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$2 x - 56 = 6$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$2 x - 56 = 6$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

Étape 3.2

Résolvez $x$ dans $2 x - 56 = 6$ .

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Étape 3.2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1.1

Ajoutez $56$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 6 + 56$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

Étape 3.2.1.2

Additionnez $6$ et $56$ .

$2 x = 62$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$2 x = 62$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 62$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 62$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{62}{2}$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{62}{2}$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{62}{2}$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$x = \frac{62}{2}$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$x = \frac{62}{2}$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Divisez $62$ par $2$ .

$x = 31$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$x = 31$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$x = 31$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$x = 31$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $31$ dans chaque équation.

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Étape 3.3.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $3 x - 2 y + 112 = 0$ par $31$ .

$3 (31) - 2 y + 112 = 0$

$x = 31$

$z = 7$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez $3 (31) - 2 y + 112$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez $3$ par $31$ .

$93 - 2 y + 112 = 0$

$x = 31$

$z = 7$

Étape 3.3.2.1.2

Additionnez $93$ et $112$ .

$- 2 y + 205 = 0$

$x = 31$

$z = 7$

$- 2 y + 205 = 0$

$x = 31$

$z = 7$

$- 2 y + 205 = 0$

$x = 31$

$z = 7$

$- 2 y + 205 = 0$

$x = 31$

$z = 7$

Étape 3.4

Résolvez $y$ dans $- 2 y + 205 = 0$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $205$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y = - 205$

$x = 31$

$z = 7$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $- 2 y = - 205$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 y = - 205$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- 205}{- 2}$

$x = 31$

$z = 7$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- 205}{- 2}$

$x = 31$

$z = 7$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 205}{- 2}$

$x = 31$

$z = 7$

$y = \frac{- 205}{- 2}$

$x = 31$

$z = 7$

$y = \frac{- 205}{- 2}$

$x = 31$

$z = 7$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{205}{2}$

$x = 31$

$z = 7$

$y = \frac{205}{2}$

$x = 31$

$z = 7$

$y = \frac{205}{2}$

$x = 31$

$z = 7$

$y = \frac{205}{2}$

$x = 31$

$z = 7$

Étape 3.5

Résolvez le système d’équations.

$y = \frac{205}{2} x = 31 z = 7$

Étape 3.6

Indiquez toutes les solutions.

$y = \frac{205}{2}, x = 31, z = 7$